Quelle est l’aire d’un losange ?
L’aire d’un losange se calcule le plus souvent à partir de ses diagonales : on multiplie leurs longueurs puis on divise par deux. D’autres formules permettent aussi de la trouver avec la base et la hauteur, ou avec un côté et un angle.
À retenir
- La formule la plus utilisée est : A = (D × d) ÷ 2, où D et d sont les diagonales du losange.
- On peut également calculer l’aire avec la formule A = base × hauteur.
- Connaître uniquement la longueur d’un côté, ou le périmètre, ne suffit pas pour déterminer l’aire.
- L’unité de l’aire est toujours une unité carrée : cm², m², km², etc.
- Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, ce qui explique la formule des diagonales.
Pour calculer l’aire d’un losange, il faut mesurer la surface qu’il occupe à l’intérieur de ses quatre côtés. La méthode la plus directe consiste à connaître les longueurs de ses deux diagonales : il suffit de les multiplier, puis de diviser le résultat par deux. Selon les données de l’exercice, il est aussi possible d’utiliser la base et la hauteur, ou la longueur d’un côté associée à un angle.
Qu’est-ce qu’un losange ?
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. C’est un cas particulier de parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles et ses angles opposés ont la même mesure.
Il ne faut pas confondre le losange avec le carré. Un carré est bien un losange, car ses quatre côtés sont égaux, mais il a en plus quatre angles droits. Un losange peut être « penché » : ses angles ne sont pas forcément égaux à 90°.
Les propriétés utiles pour calculer son aire
- Ses deux diagonales se coupent en leur milieu.
- Ses diagonales sont perpendiculaires : elles forment un angle droit.
- Les diagonales découpent le losange en quatre triangles rectangles de même aire.
- Un losange peut être vu comme un parallélogramme : il possède donc une base et une hauteur.
Ces propriétés permettent de disposer de plusieurs formules, à choisir selon les mesures connues.
La formule de l’aire d’un losange avec les diagonales
La formule la plus fréquemment utilisée est :
A = (D × d) ÷ 2
- A désigne l’aire du losange ;
- D désigne la longueur d’une diagonale ;
- d désigne la longueur de l’autre diagonale.
Les lettres D et d servent souvent à distinguer la plus grande et la plus petite diagonale, mais l’ordre n’a aucune incidence : multiplier 8 par 12 ou 12 par 8 donne le même résultat.
Exemple de calcul avec les diagonales
Un losange possède une diagonale de 12 cm et une autre de 7,5 cm.
- On multiplie les diagonales : 12 × 7,5 = 90.
- On divise par 2 : 90 ÷ 2 = 45.
L’aire du losange est donc de 45 cm2.
Pourquoi faut-il diviser par deux ?
Les diagonales se croisent à angle droit et se coupent chacune en deux segments égaux. Elles forment ainsi quatre triangles rectangles identiques.
Chaque triangle a pour côtés perpendiculaires la moitié de chaque diagonale, soit D ÷ 2 et d ÷ 2. Son aire vaut donc :
((D ÷ 2) × (d ÷ 2)) ÷ 2 = (D × d) ÷ 8
Comme le losange contient quatre de ces triangles, son aire totale vaut :
4 × (D × d) ÷ 8 = (D × d) ÷ 2.
Les autres formules pour trouver l’aire d’un losange
Les diagonales ne sont pas toujours fournies dans un exercice. La bonne formule dépend alors des informations disponibles.
| Données connues | Formule à utiliser | À retenir |
|---|---|---|
| Les deux diagonales D et d | A = (D × d) ÷ 2 | La méthode la plus courante pour un losange. |
| Une base b et la hauteur h | A = b × h | Le losange est aussi un parallélogramme. |
| Un côté a et un angle intérieur α | A = a2 × sin(α) | Formule utile en trigonométrie, avec une calculatrice en mode degré si l’angle est donné en degrés. |
| Un côté a et une diagonale | Théorème de Pythagore, puis A = (D × d) ÷ 2 | Les demi-diagonales et un côté forment un triangle rectangle. |
Calculer l’aire avec la base et la hauteur
Comme tous les parallélogrammes, le losange peut être ramené à un rectangle de même base et de même hauteur. Son aire se calcule alors ainsi :
A = b × h
- b est la longueur de la base choisie ;
- h est la hauteur perpendiculaire à cette base.
Dans un losange, la base a la même longueur que chacun des côtés. En revanche, la hauteur n’est généralement pas égale au côté : c’est la distance la plus courte entre deux côtés opposés parallèles.
Exemple avec une base et une hauteur
Un losange a un côté de 9 cm et une hauteur relative à ce côté de 4,2 cm.
A = 9 × 4,2 = 37,8 cm2
L’aire est donc égale à 37,8 cm2.
Utiliser un côté et un angle du losange
Si l’on connaît la longueur d’un côté a et la mesure d’un angle intérieur α, on peut calculer l’aire avec la trigonométrie :
A = a2 × sin(α)
Cette formule vient de la relation hauteur = a × sin(α). En utilisant ensuite la formule base × hauteur, on obtient : A = a × (a × sin(α)), soit a2 × sin(α).
Exemple avec un côté et un angle
Un losange a des côtés de 10 cm et l’un de ses angles mesure 30°.
A = 102 × sin(30°)
Or, sin(30°) = 0,5. Donc :
A = 100 × 0,5 = 50 cm2
Avec les diagonales
A = (D × d) ÷ 2
- Idéal si le dessin donne les deux diagonales.
- Ne demande pas de trigonométrie.
- Particulièrement adapté aux exercices de géométrie du collège.
Avec base et hauteur
A = b × h
- Idéal pour un plan, une figure quadrillée ou une situation concrète.
- Utilise la même logique que l’aire d’un parallélogramme.
- Exige de bien identifier la hauteur perpendiculaire.
Comment calculer l’aire si l’on connaît un côté et une seule diagonale ?
Cette situation demande une étape supplémentaire. Les diagonales étant perpendiculaires et coupées en leur milieu, une demi-diagonale, l’autre demi-diagonale et un côté du losange forment un triangle rectangle.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
a2 = (D ÷ 2)2 + (d ÷ 2)2
Après avoir trouvé la diagonale manquante, on utilise la formule habituelle des diagonales.
Exemple détaillé
Soit un losange dont le côté mesure 13 cm et dont une diagonale mesure 10 cm.
- La moitié de la diagonale connue mesure 10 ÷ 2 = 5 cm.
- On cherche la moitié de l’autre diagonale avec Pythagore :
132 = 52 + x2
donc x2 = 169 − 25 = 144, puis x = 12 cm. - La diagonale complète manquante vaut donc 2 × 12 = 24 cm.
- Enfin : A = (10 × 24) ÷ 2 = 120 cm2.
L’aire de ce losange est de 120 cm2.
Peut-on trouver l’aire avec seulement la longueur du côté ?
Non. La longueur d’un côté ne suffit pas à déterminer l’aire d’un losange. Avec quatre côtés de même longueur, on peut former des losanges plus ou moins aplatis : leur hauteur, leurs diagonales et leur aire changent.
Par exemple, deux losanges peuvent avoir des côtés de 8 cm, tout en ayant des angles différents. Celui dont l’angle est proche de 90° aura une aire plus grande que celui qui est très aplati.
Il faut au moins une information supplémentaire, comme :
- la longueur des deux diagonales ;
- la hauteur ;
- un angle intérieur ;
- ou la longueur d’une diagonale, afin de retrouver l’autre avec Pythagore.
Les erreurs fréquentes dans le calcul d’aire d’un losange
Oublier de diviser par deux
Avec les diagonales, le produit D × d ne donne pas directement l’aire du losange : il faut toujours diviser ce produit par deux.
Écrire une longueur au lieu d’une surface
Une aire s’exprime en unités carrées : cm2, m2 ou km2. Écrire seulement « 45 cm » est incorrect : cela désigne une longueur, pas une surface.
Multiplier le côté par lui-même sans condition
La formule côté × côté ne fonctionne que pour un carré, ou plus généralement lorsque l’angle entre deux côtés vaut 90°. Dans un losange quelconque, il faut tenir compte de la hauteur, des diagonales ou de l’angle.
Confondre diagonale et côté
Une diagonale relie deux sommets opposés ; elle traverse donc l’intérieur du losange. Un côté relie deux sommets consécutifs. Ce ne sont pas les mêmes segments et ils n’ont pas, en général, la même longueur.
Méthode rapide : quelle formule choisir selon l’énoncé ?
- Repérez les mesures disponibles : diagonales, hauteur, côté, angle ou périmètre.
- Choisissez la formule adaptée : diagonales, base × hauteur ou trigonométrie.
- Convertissez les unités si nécessaire avant tout calcul.
- Effectuez le calcul en respectant les parenthèses et la division par deux si vous utilisez les diagonales.
- Ajoutez l’unité carrée au résultat final.
En pratique, retenez surtout ceci : si l’énoncé donne les deux diagonales, appliquez directement A = (D × d) ÷ 2. Si vous disposez d’une base et de sa hauteur, utilisez simplement A = base × hauteur.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un losange ?
La formule la plus courante est A = (D × d) ÷ 2, où D et d représentent les longueurs des deux diagonales. On multiplie les diagonales entre elles, puis on divise le résultat par 2.
Comment calculer l’aire d’un losange avec la base et la hauteur ?
Un losange étant un parallélogramme, son aire est égale à base × hauteur. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie. Par exemple, avec une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm, l’aire est de 24 cm².
Pourquoi les diagonales d’un losange permettent-elles de calculer son aire ?
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Elles découpent donc la figure en quatre triangles rectangles de même aire. En additionnant l’aire de ces quatre triangles, on obtient la formule (D × d) ÷ 2.
Peut-on calculer l’aire d’un losange avec seulement la longueur d’un côté ?
Non, la longueur d’un côté seule ne suffit pas. Plusieurs losanges peuvent avoir le même côté mais des angles, des hauteurs et des aires différents. Il faut au moins une autre donnée, comme une diagonale, la hauteur ou un angle intérieur.
Quelle est l’aire d’un losange dont les diagonales font 8 cm et 14 cm ?
On applique la formule A = (D × d) ÷ 2 : (8 × 14) ÷ 2 = 56. L’aire du losange est donc de 56 cm².
Un carré est-il un losange et utilise-t-il la même formule d’aire ?
Oui. Un carré est un losange particulier : ses quatre côtés sont égaux et ses angles sont droits. La formule avec les diagonales fonctionne donc aussi pour un carré, mais on peut plus simplement utiliser côté × côté.
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